第一章：投影机系统简介
1-1光机设计初步认识
照明系统的设计目的为何?灯源在LCD中有何作用?
现在要说明的是投影机光机之设计的基本概念。在此，我们以一三片式穿透式LCD光机为例。
如画面中所显示的是一般所使用的三片式LCD所组成之光机系统。整个 LCD projector的作用是因为LCD本身并非自发性的发光组件，
所以必须使用一个灯源来提供光源。使其能透过照明系统，有效的照射于LCD面板上，提供LCD面板投影至镜头所需要的光源。
首先，我们将照明系统视为一个黑盒子，灯源的发光分布经过投影机系统成像到LCD面板上面。
由于灯源本身特性使然，其在空间上之能量部分如图A中所示，如果将此光源直接照射于液晶面版上面，除了使得光使用效率大打折扣外，也会使的面版上呈现不均匀之能量分布，进而影响了成像品质。所以照明系统设计之目的，就是希望透过设计的技巧，除了提升光源之效率外，并能均匀化液晶面版上之能量，如图B中所示。
如此一来，可使得LCD成像面上的每个位置都达到均匀效率的分布。透过这样的设计，可将LCD面板透过镜头成像的影像效果达到最佳品质。
1-2光源在照明系统之行为
灯源于反射罩上之行为如何?
为了使设计之照明系统更符合实际之需求，有效而准确的掌握光于照明系统之行为，就成为首要之事，所以首先我们由灯开始，藉由简单之几何关系，了解光于反射罩上之行为。如图1所示，是一2次曲线方程式，我们将曲线上第1焦点定义为f1、第2焦点定义为f2，而曲线顶点与第一焦点距离则定义为f，两焦点之距离为S。首先由f1发射出一光源达到反射罩P点上，经过反射罩，必定会聚焦于f2上面。在f1、P、f2三点 所构成之三角形关系式中，我们定义f1到反射罩的距离为r ，P点与f2之距离则定义为r’；光线与光轴的夹角为α。
则我们利用此三角关系式可以导出公式1 (r')2=r2+s2 - 2rs cos (π - α)。如果我们再把两焦点之距离S与焦距F之间定义为延伸率E，整个r的广义式子就是画面中的公式2 。所以利用公式2可以广义的定义任意一个曲线。
举例来说：如果在f1焦点上，有一个大小固定的光源时，光线会有一个 △f1的变异量，因此在其聚焦点的位置上，就会产生 △f2=E△f1。所以当f1有△f1的变化量时，在f2的聚焦点会有 E△f1的变异量。利用此关系式，当f1有一定的变化量时，就可以很清楚的知道，光经过一个反射罩之后，光与聚焦点处的变化量的大小为何。当S=0时，由公式2可知，R会等于F，为一个圆的表示式。当S=∞时， r可以简化成，2倍的焦距除以1加上 cos α ，如画面上的公式3，为反射罩一拋物线的表示式。
1-3反射罩口径与焦距之关系
何谓拋物线的表示式?如何求出反射罩所需之最小口径及最大口径半径?
为了解光源经过反射罩时之行为，由前面我们得到的拋物线表示式：r为2倍的焦距除以1加上cos α ，分别仿真以光α=45及α=135，来看其在反射罩上之光线的行为。当α＝45度角时，代入拋物线的表示式公式1时，可得r=2(2 - √2)f。相同的，当α＝135度角（也就负45度时）可得r=2(2 + √2)f 。也就是说利用拋物线的表示式 ，随时可以求出当α为不同角度时，R与f之间之关系式子。以我们平常所使用HID灯而言，一般的张角是由45度到135度之间，所以利用此公式，进而我们可以计算出反射罩所需之最小口径及最大口径半径。依图1例子，当α＝135度时，光线由135度角出射后，这是其最大张角，因此反射罩必须当R是极大值时才可收到光。
所以当R为最大值时，可得式子1：Rmax= r . cos 45° Rmax =(2 √2+2)f 。利用此关系式我们可以重复的计算出Rmax 与Rmin 之间的关系。由式子1和式子2我们可以导出式子3：Rmax =(2 √2+2)f 、Rmin =(2 √2-2)f 。我们也可由导出的结果中发现，只要是使用拋物杯的反射罩时，当焦距固定时，其最大的口径半径就已经可以决定了。而且当f固定时，最小半径也已经决定了。所以利用这些关系式结果可以决定反射罩之使用效率。
如何求出不同焦距时的所需要的最小的口径半径和最大的口径半径？
接着，我们将前面的图以制表方式呈现，画面中表格的横轴显示的是反射罩的焦距Focal Length，纵轴表示的是反射罩的口径半径。如画面中图形所示，当焦距固定为8mm时，其最小的口径半径为6.63，最大的口径半径为38.63。我们可由此图表的例子与实际的反射罩作一比对，将会发现与实际的情况相差并不会太大。藉由此表，我们随时可以计算出在不同Focal Length焦距时的所需要的最小的口径半径和最大的口径半径。
第二章：投影机光学组件的角色与作用
2-1成像基本概念
何谓marginal ray与chief ray？其作用为何？
接着要介绍的是每个光学组件在照明系统所扮演的角色为何。在谈到照明系统设计之前，首先要跟各位介绍一些基本观念，以方便各位更熟悉接下来之课程介绍。各位在之前已经学过基本的光学概念，知道透过成像描线法可以求出透镜的成像位置与高度。只要透过2条光线（主光线与边缘光线），就可以表达出物体经过一透镜成像之过程。如画面中的图为例，我们先定义其中两条光线，第一条从物体与光轴的焦点处和透镜边缘处所连成的光线为marginal ray ，第二条由物的最高点处经过透镜的stop 中心连成的光线为chief ray。当marginal ray经过透镜聚焦于光轴上会有一
交点，此焦点处就是物体成像之位置。而chief ray为经过透镜STOP中心之光线，经过透镜时并不会发生偏折的现象，所以此延伸的chief ray与成像面也会有一
交点，此
交点处就是物体成像之高度。故利用marginal ray可以定义出当物体经孔径边缘之光线与光轴之焦点，就是物体成像之位置。同理，利用chief ray则可定义出物体成像之高度。另外，由物点发出的光线是由无数之光线所构成，因此一物体可有无限多组marginal ray及chief ray。本例取一般常见之定义作为介绍。
2-2照明系统投射原理
在光学系统中各个组件之间有何种的比例关系？
我们现在要介绍的是整个光学系统的内部部分，首先看到画面中的图1的光学系统可分为
Reflector、Lens Array、PS Converter以及两组透镜(Condenser1 & Condenser2)，在初始设计时，这些组件在照明系统中到底该扮演何种角色，该如何安排，它们之间有何种的比例关系。
首先我们先定义反射罩的最大口径为R，其焦距定义为F，Source的arc长度为d、
Lens Array的大小为A
，而两个之间的距离为
fA，後方两组透镜的距離為
fB，LCD的寬度為W。以圖2所示：一般而言，source光源經過
Lens 1会聚焦于
Lens 2 。 由之前所提到的光学概念可知，蓝色出射的线即为marginal ray。当source光源經過
Lens 1聚焦于
Lens 2，在Lens 2会有一个
source 的
image成像。由於
Lens 2是放置于
source 的
image的成像位置上，所以光线并不会发生任何偏折，而会继续扩散。所以从这些过程中可知照明系统可分为两部分：第一，当光源经过
Lens 1成像于
Lens 2后会投射于LCD的面板上。第二，如果被照物体位置于
Lens 1时，由图2可知，由
Lens 1本身构成之光源来看（即画面中之蓝色、红色和绿色光线），可以知道物体经过
Lens 2的成像会位于LCD的面板上。而画面中图1也可视为类似圖2的發光過程，發光源經過反射罩後，透過
Lens Array 聚焦LCD的面板上。
整个照明系统的设计概念就是，發光源經過反射罩透過
Lens Array会聚焦于
PS Converter上。而图2中之
Lens 1的角色就相当于
Lens Array，
Lens 2的角色就相当于
PS Converter，所以灯经过
Lens Array聚焦后，再透过
Lens 2后会入射于LCD的面板上
2-3成像基本概念 2
如何求出光线经过透镜聚焦于成像面位置上的高度？
现在要介绍的是有关照明系统设计的公式，首先我们看到画面中的图1中有一道平行光经过透镜后会聚焦于焦点处，焦点至透镜边缘的距离称为后焦，如果物体的发光角度为U角时，经过透镜成像于V处，其聚光角度为U’，透过计算可得式子1 u'= u + yf )f/1=( ，其中的
f 定义为 1/焦距 。
另外，假设已知一个平行光入射至透镜的高度为y1，经过折射后聚焦于X处，那么如何求出折射高度y2呢？我们就可以利用式子2 y2 = y1- xv 此计算方式，可以很快的找出光线在经过透镜聚焦之后任何一个成像面位置上的高度y2的值。画面中的图2要说明的是两透镜的组合焦距，如果第一个透镜的有效焦距为F1，第二个透镜的有效焦距为F2，则可定义出 。同理，后焦(bfl)的表示值也是如此，利用这些公式将有助照明系统的设计。
2-4Lens与Panel之关系
Lens Array的大小与
LCD的寬度有何關係？
现在要说照明系统中光在反射罩中经过
Lens Array聚焦行为的关系式。在图1中
d灯经过反射罩，理想为平行光时，经过
Lens Array后会聚焦于Lens2，通常
Lens Array的距离为
FA，而
Lens A和
Lens B是有相同焦距的透镜组，所以只需将
Lens 放置于
Lens A聚焦处即可。我们参考图2来说明其过程，当source光源经过
Lens 1聚焦于
Lens 2。透过三角关系式，可找出A/ fA ＝d/f，并可导出A /d＝fA /f，这是我们得到的第一个关系式。在画面中的图3是有一束平行光经过
Lens A聚焦于
Lens B后的成像情形。由图4来看，可知在Lens2的两边是相似三角形。假设图3的Panel宽度为W，Lens1的大小为A，Lens1和 Lens2两透镜间的距离为fA和X， 那么W和A之间的有何关系呢？
照明系统中的
Lens Array的大小如何决定？
由前面的定义可计算出此两个透镜的焦距f1與焦距f2，此两个透镜的组合焦距可以用表示出来。透过此公式我们可以找出W和A之间的关系为
这是我们得到的第二个关系式。 整个Panel和Lens Array的关系可由此关系式来表达。
照明系统中的
LCD的寬度如何決定？
当x=f2时，表示Lens1与PS Converter B非常接近时（即X≒f2），上式就可以简化成
2-5系统F#之计算
如何计算光学系统中的F#值？
从前面这两个组合公式A 和W 以及系统F#，（F#的定义是焦距除以孔径），由以上这3个公式可以得到（F# = W fA / AR =const ）。F#值等于Panel的大小乗以反射罩的焦距除以反射罩的孔径再乘上灯源
d的长度(F#=Wf/Rd)。再代入反射罩之最小及最大半径公式 Rmax =(2 √2+2)f 就可以得到值。
这个最后所求出的公式表示的是一个光学系统的F#值，F#值其实只跟Panel的大小和source的
d有关，至于其它的式子只是相互依靠其值是不能改变的。所以当你在设计照明系统时，如你已决定LCD的Panel size时和灯时，那么也就等于决定了F#值，F#的值就无法改变了。
如何决定适合光学系统中的F number值及两透镜之间的距离？
如果. W=25.4、.d=1 mm时，代入F# = W/(9.687×d)公式时，可以求出此照明系统所适合的F#值为=2.62207，以及透镜之间的距离f2为178.54778。
再者，根据2*Rmax = 24√2，你可以改变你的F#值，如果将F#改为f3时，将会发现f2的值会变为2 Rmax 乘上F#。因此f2的值也會由原來的178.54778变为203.64675。
再由前面Rmax =(2√2+2)f公式，就可以计算出f等于7.02944。所以当你在设计照明系统时，透过这些公式可以帮助你决定适合光学系统中的F#值及F2。
2-6系统设计实例演练
Lens AB的切割数和焦距如何决定？ 再来要说明的是LensAB切割数如何决定，一般而言，你可以视系统的需求决定LensAB的切割数。通常LensAB的每个cell比例会依照panel的比例来切割，一般panel的设计比例为4:3 。如果我们在一个正圆的反射罩上，切割成许多的Array时，其也应是4:3的比例。以画面中的例子而言，每个cell设计成8mm×6mm时，其A的大小对角线为10，当A和f2已知时，我们就可以计算出 fA的焦距了。
总结来说，当你已决定了Panel size和灯的
d大小时，就可以透过以上这些公式计算出f2的大小和LensAB的焦距。
